Matematik åk 7-9

Efter att ha varit borta från läraryrket ett stort antal år blev det dags igen hösten 2002. Jag undervisade i matematik och NO-teknik i årskurserna 6-9. Jag fann att det undervisningsmateriel som användes på skolan hade sina begränsningar:

1. Svaga elever hade separata böcker, något som gjorde att de kände sig underlägsna
2. Det var kapplöpning där eleverna hela tiden jämförde hur långt kamraterna kommit. De elever som hunnit längst trodde att de var bäst i matte, och så var ju inte fallet
3. Det var dåligt med förklarande text och motiveringar för varför ett visst moment skulle studeras. Det blev mycket utantillärning
4. Eleverna kollade hela tiden i facit för att se om de gjort rätt. Om så var fallet hastade de vidare

För att råda bot på ovanstående svagheter har detta läromedel utvecklats.

Lpo 94 och Skolverkets kursplaner och betygskriterier från år 2000 har styrt utvecklingen av detta läromedel i matematik åk 7-9

Eleven skall kunna utvecklas efter sina förutsättningar och behov

Kunskapsmål och strävansmål

• utveckla sin nyfikenhet och lust att lära
• utveckla sitt sätt att lära
• utveckla tillit till sin egen förmåga
• lära sig att utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med andra

Mångfald vad gäller problemlösning

Ingen lösningsmetod är bättre än den andra. Elevens kreativitet och engagemang stimuleras. Detta innebär att ingen alternativ lösningsmetod är bättre än den andra. Elevens förståelse och förmåga att komma till rätt resultat är det som är viktigt.

Studier på klassnivå, i grupp eller enskilt

Studierna kan bedrivas på klassnivå, i en grupp eller enskilt. När ett nytt delmoment skall studeras gör läraren och eleven (eller elevgruppen) upp en tidplan, och denna skrivs ut så eleven/elevgruppen vet vad som skall läsas och när det skall vara klart. Här finns också möjligheter för läraren att göra kommentarer. Det inledande faktaavsnittet är gemensamt för alla, och de individuella övningsuppgifterna kan eleverna lösa individuellt eller samarbeta om i grupp.

Innehållet uppdateras regelbundet

Delmomentens struktur och tankegångarna bakom detta

Varje delmoment startar med en liten ”programförklaring” där det anges vad som skall avhandlas och vad som skall uppnås. Vidare anges ofta hur momentet kommer in i ett större sammanhang, och vad eleven har för nytta av kunskaperna. På så sätt ökar motiveringen för att studera avsnittet. Vid inledningen finns ofta en bild av en ”lärare”. En faktadel presenteras därefter i dialogform med eleven. Framställningen är gjord med många ord och utformad så att eleven tvingas tänka själv och svara på frågor i takt med att det nya materialet presenteras. På så sätt blir eleven engagerad och van vid den matematiska vokabulären och formspråket. Denna typ av framställning lämpar sig dessutom utmärkt för självständiga studier eller för svagare elever som behöver mycket förklaringar utan att läraren behöver vara närvarande hela tiden. Invandrarelever och andra som har svårt med svenskan får härigenom också en extra träning i svenska språket. Frågorna för eleven besvaras på avsedd plats i anslutning till presentationen av det nya stoffet. Framställningen är gjord i positiv anda så att elevens självförtroende stärks. Materialet förklaras därför i små steg och med kontrollfrågor i anslutning till presentationen. På så sätt kan svaga elever ta sig igenom materialet i sin egen takt och förstå vad hon/han studerar. Nya fakta sammanfattas i en gul ruta och sammanställningar i slutet av presentationen presenteras i en blå ruta. När eleven gått igenom avsnittet och besvarat alla frågor kallar eleven på läraren som går igenom svar på frågor och problem tillsammans med eleven eller elevgruppen.

Därefter får eleven eller elevgruppen övningsuppgifter som skrivs ut av läraren. Eleverna och läraren väljer övningsuppgifter från lämplig svårighetsgrad (nivå 1, 2 eller 3) och antalet från respektive svårighetsgrad. Om eleven behöver fler övningsuppgifter kan läraren skriva ut ett antal nya från aktuell svårighetsnivå. Läraren rättar resultatet. Facit hämtas ur systemet.

Kursinnehåll och tankegångarna bakom detta

Stor vikt har lagts dels på att motsvara Skolverkets krav, dels att få en logisk utveckling så att eleven förstår vad det gäller snarare än att lära sig utantill. Det finns av den anledningen inget facit till uppgifterna i textavsnittet, och endast lärarfacit till träningsuppgifterna. I och med att eleverna/elevgrupperna arbetar med olika moment som skrivs ut individuellt så undviks ”tävling” mellan eleverna, och tyngdpunkten kommer att hamna på förståelse.

Övningsexemplen har anpassats till att spegla vardagssituationer och aktuell samhällsdiskussion.

Moment 1: Problemlösning

”Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning.”

Detta moment innehåller en mängd problem som belyser det som man gått igenom under året. Delmomenten, ett per årskurs, kan användas vid sammanfattning eller repetition i slutet av varje årskurs. De utgör en bra repetition till exempel inför centrala proven i åk 9.

Moment 2: Taluppfattning

”Eleven skall ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal, rationella tal i bråk och decimalform”

Framställningen börjar med en repetition av vad positionssystemet innebär. Olika typer av tal introduceras och hur dessa rangordnas med hjälp av en tallinje. Denna liknas vid en sprittermometer något som varje elev är familjär med. I och med de olika talens positionering längs tallinjen blir det naturligt att introducera olikheter.

Talförståelsen byggs upp bland annat genom faktoruppdelning, något som sedan utvecklas när räkning med bråktal gås igenom. Förlängning och förkortning och framtagning av (minsta) gemensamma nämnare är områden som många elever upplever som besvärliga, men här går vi lugnt och metodiskt till väga genom att börja med att först ta fram en gemensam nämnare. Kunskaperna från förlängning som eleven tidigare tillgodogjort sig kommer härvid väl till pass. Därefter studeras den minsta gemensamma nämnaren, varvid eleven får användning av kunskaperna om faktoruppdelning som lästs tidigare. Omvandling från decimaltal till bråktal – och tvärt om är en enkel men viktig sak att känna till. Det behövs ofta bland annat i fysikaliska sammanhang.

En genomgång av det binära talsystemet avslutar momentet. Denna blir lite mer odramatisk om eleven behärskar tankegångarna bakom positionssystemet. Kunskap om binära talsystemet behövs bl.a. när datorer studeras i tekniken.

Moment 3: Räkning och räknemetoder

”Eleven skall ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsberäkning och räkning med naturliga tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel”

Momentet inleds med repetition av överslagsräkning och rimlighetsbedömning samt huvudräkning. Påfallande många elever kan inte multiplikationstabellen (!) så lite övning är ofta på plats. Kunskaperna behövs när skriftliga räknemetoder, speciellt division, repeteras. Huvuddelen av framställningen ligger kring procentbegreppet och procentuella påslag och rabatter. Framställningen baseras på definitionen av procent, och förutsatt att eleven förstår denna rullas resten upp enkelt och logiskt. Avslutningsvis studeras procentuella förändringar, något som upplevs som svårt av många elever. Ett avsnitt om miniräknaren är insprängt i avsnitten om procent, där %-tangentens funktion gås igenom. I detta sammanhang är det naturligt att ta upp begreppet proportionalitet.

Moment 4: Linjära mått och måttsystem

”Eleven skall kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader. Eleven skall kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt”

Här återfinner vi mycket av den traditionella geometrin. Framställningen börjar med att förklara vad en linje är, vilka egenskaper den har och vilka mått som används och hur man förvandlar dessa. Övergången till två dimensioner görs med liknelsen att två linjer som skär varandra bildar en vinkel, som definierar ett plan. Därmed kommer begreppet ytor in naturligt, och framställningen bygger på vad en kvadratmeter är och vilka egenskaper den har. (Det är ju någonting som alla kan och förstår).

Rektangeln och triangeln och dessa figurers egenskaper kommer därefter.

Förståelsen för kvadratens egenskaper blir en naturlig inkörsport till att definiera kvadratiska uttryck och rotuttryck. Dessa kommer in i ett naturligt sammanhang, och kan vidareutvecklas till potenser, som behandlas i slutet av momentet.

Rätvinkliga trianglar studeras, och ett enkelt bevis för Pythagoras´ sats presenteras för den vetgirige. Förståelsen för vad kvadrater och kvadratuttryck är kommer nu väl till pass.

Cirkelns egenskaper baserar sig på medelpunkt och radie, och talet Pi bestäms experimentellt. På så sätt får eleven en bra minnesbild av detta för dem så mystiska tal.

Moment 5: Avbildning

”Eleven skall kunna tolka och använda ritningar och kartor”

Momentet inleds med vad som menas med en avbildning eller en ritning. Begreppet skala kommer då in naturligt, och i samband med det skalfaktorn och sortförvandlingar.

Nästa delmoment behandlar kartor och sjökort och hur man använder sig av dessa för att ta ut kompassriktning. Det har säkert eleverna kommit i kontakt med redan i gymnastiken, så det blir lite repetition och därmed befästs kunskaperna.

Delmomentet om areaskala och volymskala får betraktas som ”överkurs” och läses av den intresserade eleven som aspirerar på ett högt betyg.

Moment 6: Statistik, tabeller och diagram

”Eleven skall kunna tolka, sammanställa, analysera och värdera data i tabeller och diagram”

Det första delmomentet handlar om datainsamling och sammanställning. Detta kan med fördel göras i en klass, där elevernas längd registreras och används som underlag för presentation av data. Olika tabell- och diagramtyper gås igenom så att eleven får lite känsla för vad som är lämplig presentationsform för olika typer av data.

När eleven fått lite känsla för datasammanställningar så blir det naturligt att gå igenom enkla spridningsmått som medelvärde och median.

Nästa steg blir att eleven blir familjär med olika typer av diagram. Om eleven har tillgång till dator är det lämpligt att en del övningar görs här. En kort introduktion till att arbeta med kalkylblad inleder övningarna.

Avslutningsvis behandlas ”konsten att ljuga med diagram”. Det är viktigt all lära eleven att lätt genomskåda de vanligaste fallgroparna som används för att ge sken av kraftiga ökningar eller minskningar, och därmed styrka förmågan att kritiskt granska statistik och diagram.

Moment 7: Sannolikhet

Skolverket: ”Eleven skall kunna använda begreppet sannolikhet i enkla slumpsituationer” Definitionen av begreppet sannolikhet inleder detta moment. Den är enkel och lätt att förstå för de flesta eleverna. En rad exempel på sannolikheten för oberoende händelser finns så att eleven får en förståelse för vad som menas med sannolikhet.

Andra och sista delmomentet handlar om sammansatta händelser. Här blir det genast lite krångligare, men de ”klassiska” övningarna med kortlekar och tärningar gör att det blir lätt att hänga med. Som exempel härleds sannolikheten att få 13 rätt på tipset eller att få alla rätt på V65 utifrån lämpliga antaganden.

Moment 8: Formler och ekvationer

”Eleven skall kunna använda enkla formler och kunna lösa enklare ekvationer”

Momentet inleds genom att introducera den ”lite abstrakta” världen med matematiska formler genom att motivera fördelarna med ett matematiskt formelspråk. Eleven får öva sig på att ställa upp antaganden och enkla matematiska formler. Dessa kan innehålla en eller två variabler. I och med att eleven nu börjar bli van vid att arbeta med matematiska uttryck, så blir det naturligt att förenkla matematiska uttryck. Det berörs i det andra delmomentet. Här kommer man naturligt in på parentesuttryck och förenkling av sådana och vilka teckenregler som gäller vid multiplikation.

Det tredje delmomentet handlar om kvadrerings- och konjugatreglerna. För att komma i gång startar vi med lite repetition och därefter studeras hur man förenklar parentesuttryck med en faktor framför, och vilka teckenregler som gäller. När detta är gjort är tiden mogen för att förenkla produkter där faktorer är parentesuttryck. Då faller kvadrerings- och konjugatreglerna ut på ett naturligt sätt.

Ekvationslösning ingår också i skolverkets krav, och detta behandlas i nästa moment. Resonemanget byggs upp kring den traditionella liknelsen med en våg som är i balans. För att gå varligt fram finns x-termerna enbart i ett av leden, oftast det vänstra.

Nästa delmoment innehåller också ekvationslösning, men nu finns det x-termer i båda leden, och i bråkform.

Det avslutande delmomentet behandlar andragradsekvationer. Start med enbart x² term, och när eleven blir varm i kläderna så utvidgas det hela till att bli en fullständig andragradsekvation, för vilken den generella lösningen härleds.

Moment 9: Grafer

”Eleven skall kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser”

I det första delmomentet definieras ett koordinatsystem och dess egenskaper. Funktionsbegreppet introduceras som en vidareutveckling av delmomentet med formler och matematiska uttryck.

I det andra och sista delmomentet lär eleven sig arbeta med representation av verkliga händelser i form av funktioner och grafer.

Staffan Wohrne - info@staffanwohrne.se / tel: 070-287 22 50